HIMPUNAN (Bagian 2)

HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN

1.      HIMPUNAN SALING LEPAS

Contoh :

P = {a,b,c}     

Q = {1,2,3,4}

Himpunan P saling lepas dengan himpunan Q, ditulis P // Q.

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.

2.      HIMPUNAN TIDAK SALING LEPAS

M = {1,2,3,4,5}         

N = {2,3,5,7,11}

Dua himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A.

3.      DUA HIMPUNAN SAMA

Y = {1,2,3}

X = {3,2,1}

Maka : A = B

Dua himpunan dikatakan sama, apabila kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.

4.      HIMPUNAN EKUIVALEN

Jika banyaknya anggota himpunan P = banyaknya anggota himpunan Q, atau n(P) = n(Q) maka P dan Q dikatakan ekuivalen.

Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).

OPERASI HIMPUNAN

1.      IRISAN (INTERSEKSI)

Contoh :

A = {2,3,5}

B = {1,2,3,4,5}

Maka : A ∩ B = {2,3,5}

Notasi : A ∩ B = {x/x ∈ A dan x ∈ B}

Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut.

2.      GABUNGAN (UNION)

Contoh :

A = {6,7,8}

B = {1,2,3,4,5}

Maka : A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Notasi : A ∪ B = {x/x ∈ A atau  x ∈ B}

3.      SELISIH (DIFFERENCE)

Contoh :

A = {a,b,c,d}

B = {a,c,f,g}

A – B = {a,b,c,d}  – {a,c,f,g}  = {b,d}

B – A = {a,c,f,g}  – {a,b,c,d}  = {f,g}

Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B atau A\B.

Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut :

A – B = {x | x ∈ A, x ∉ B}

B – A = {x | x ∈ B, x ∉ A}

4.      KOMPLEMEN

Contoh :

S = {1,2,3,4,5,6,7}

A = {3,4,5}

Maka komplemen himpunan A adalah A^C = {1,2,6,7}

Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotaanggotanya

merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.

Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut :

A^C = {x | x ∈ S dan x ∉ A}

SIFAT OPERASI HIMPUNAN

1.      SIFAT IRISAN DAN GABUNGAN

#  Sifat komutatif irisan

A ∩ B = B ∩ A

#  Sifat Assosiatif irisan

(A ∩ B) ∩ C = B ∩ A

#  Sifat Idempotent irisan

A ∩ A = A

#  Sifat identitas irisan

A ∩ S = A (himpunan S disebut elemen identitas pada irisan)

#  Sifat komplemen irisan

A ∩ A^C = f

#  Sifat distributif irisan terhadap gabungan

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

#  Sifat distributif gabungan terhadap irisan

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

2.      SIFAT SELISIH HIMPUNAN

@  Sifat distributif selisih terhadap irisan.

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku :

A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)

@  Sifat distributif selisih terhadap gabungan.

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku :

A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)